ધારો કે સદિશો $a, b, c$ અને $d$ એવા છે કે જેથી $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ થાય. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ એ અનુક્રમે સદિશોની જોડી $(a, b)$ અને $(c, d)$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલો છે. તો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હશે?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{d}=-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$. જો $\vec{d}=x(\vec{b} \times \vec{c})-\frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a})+z(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\sin \theta$ ની કિંમત શોધો.

સદિશો $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$ છે. જો $\bar{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\bar{a} \cdot \bar{c}=|\bar{c}|$ અને $|\bar{c}-\bar{a}|=2 \sqrt{2}$ થાય,અને $\bar{a} \times \bar{b}$ તથા $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બે સદિશો છે જેથી $|\bar{a}|=1$,$|\bar{b}|=4$,અને $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$. જો $\bar{c}=(2 \bar{a} \times \bar{b})-3 \bar{b}$ હોય,તો $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(2, 5, -1)$ અને $(-1, 1, 2)$ હોય તેવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.